主成分分析(Principal components analysis,以下简称PCA)是最常用的降维方法之一,在数据压缩和消除冗余方面具有广泛的应用,本文由浅入深的对其降维原理进行了详细总结。
1. 向量投影和矩阵投影的含义
如下图:
向量a在向量b的投影为:
其中,θ是向量间的夹角 。
向量a在向量b的投影表示向量a在向量b方向的信息,若θ=90°时,向量a与向量b正交,向量a无向量b信息,即向量间无冗余信息 。因此,向量最简单的表示方法是用基向量表示,如下图:
向量表示方法:
其中,c1是在e1方向的投影,c2是在e2方向的投影,e1和e2是基向量
我们用向量的表示方法扩展到矩阵,若矩阵图片的秩r(A)=n,图片
,其中ai(i=1,2,...,n)为n个维度的列向量,那么矩阵A的列向量表示为:
其中,e1,e2,...,en为矩阵A的特征向量 。
若矩阵A是对称矩阵,那么特征向量为正交向量,我们对上式结合成矩阵的形式:
由上式可知,对称矩阵A在各特征向量的投影等于矩阵列向量展开后的系数,特征向量可理解为基向量。
2. 向量降维和矩阵降维含义
向量降维可以通过投影的方式实现,N维向量映射为M维向量转换为N维向量在M个基向量的投影,如N维向量,M个基向量分别为,在基向量的投影:
通过上式完成了降维,降维后的坐标为:
矩阵是由多个列向量组成的,因此矩阵降维思想与向量降维思想一样,只要求得矩阵在各基向量的投影即可,基向量可以理解为新的坐标系,投影就是降维后的坐标,那么问题来了,如何选择基向量?
3. 基向量选择算法
已知样本集的分布,如下图:
样本集共有两个特征x1和x2,现在对该样本数据从二维降到一维,图中列了两个基向量u1和u2,样本集在两个向量的投影表示了不同的降维方法,哪种方法好,需要有评判标准:(1)降维前后样本点的总距离足够近,即最小投影距离;(2)降维后的样本点(投影)尽可能的散开,即最大投影方差 。因此,根据上面两个评判标准可知选择基向量u1较好。
我们知道了基向量的选择标准,下面介绍基于这两个评判标准来推导基向量:
(1)基于最小投影距离
假设有n个n维数据,记为X。现在对该数据从n维降到m维,关键是找到m个基向量,假设基向量为{w1,w2,...,wm},记为矩阵W,矩阵W的大小是n×m。
原始数据在基向量的投影:
投影坐标计算公式:
根据投影坐标和基向量,得到该样本的映射点:
最小化样本和映射点的总距离:
推导上式,得到最小值对应的基向量矩阵W,推导过程如下:
所以我们选择的特征向量作为投影的基向量 。
(2) 基于最大投影方差
我们希望降维后的样本点尽可能分散,方差可以表示这种分散程度。
如上图所示,表示原始数据,表示投影数据,表示投影数据的平均值。所以最大化投影方差表示为:
下面推导上式,得到相应的基向量矩阵W,推导过程如下:
我们发现(4)式与上一节的(13)式是相同的。
因此,基向量矩阵W满足下式:
小结:降维通过样本数据投影到基向量实现的,基向量的个数等于降维的个数,基向量是通过上式求解的。
4. 基向量个数的确定
我们知道怎么求解基向量,但是我们事先确定了基向量的个数,如上节的m个基向量,那么怎么根据样本数据自动的选择基向量的个数了?在回答这一问题前,简单阐述下特征向量和特征值的意义。
假设向量wi,λi分别为的特征向量和特征值,表达式如下:
对应的图:
由上图可知,没有改变特征向量wi的方向,只在wi的方向上伸缩或压缩了λi倍。特征值代表了在该特征向量的信息分量。特征值越大,包含矩阵的信息分量亦越大。因此,我们可以用λi去选择基向量个数。我们设定一个阈值threshold,该阈值表示降维后的数据保留原始数据的信息量,假设降维后的特征个数为m,降维前的特征个数为n,m应满足下面条件:
因此,通过上式可以求得基向量的个数m,即取前m个最大特征值对应的基向量 。
投影的基向量:
投影的数据集:
5. 中心化的作用
我们在计算协方差矩阵的特征向量前,需要对样本数据进行中心化,中心化的算法如下:
中心化数据各特征的平均值为0,计算过程如下:
对上式求平均:
中心化的目的是简化算法,我们重新回顾下协方差矩阵,以说明中心化的作用 。
,X表示共有n个样本数。
每个样本包含n个特征,即:
展开:
为了阅读方便,我们只考虑两个特征的协方差矩阵:
由(3)式推导(2)式得:
所以是样本数据的协方差矩阵,但是,切记必须事先对数据进行中心化处理 。
6. PCA算法流程
1)样本数据中心化。
2)计算样本的协方差矩阵图片。
3)求协方差矩阵图片的特征值和特征向量,并对该向量进行标准化(基向量)。
4)根据设定的阈值,求满足以下条件的降维数m。
5)取前m个最大特征值对应的向量,记为W。
6)对样本集的每一个样本,映射为新的样本。
7)得到映射后的样本集D'。
7. 核主成分分析(KPCA)介绍
因为可以用样本数据内积表示:
由核函数定义可知,可通过核函数将数据映射成高维数据,并对该高维数据进行降维:
KPCA一般用在数据不是线性的,无法直接进行PCA降维,需要通过核函数映射成高维数据,再进行PCA降维 。
8. PCA算法总结
PCA是一种非监督学习的降维算法,只需要计算样本数据的协方差矩阵就能实现降维的目的,其算法较易实现,但是降维后特征的可解释性较弱,且通过降维后信息会丢失一些,可能对后续的处理有重要影响。