1. Kalman-Bucy滤波器及系统背景

Kalman-Bucy滤波器本质上是一种针对线性系统的滤波器，可以在系统中存在高斯白噪声时对系统的内禀信号进行滤波，从而得到相对纯净、相对接近内禀信号的测量信号。

设滤波器的输出信号（亦即测量信号）为Y(t)，滤波器的输入信号（即系统的内禀信号，或称有用信号）为X(t)。滤波器的作用，就是将系统中的状态量X(t)在噪声影响下，借助测量值Y(t)，正确估计出来系统中的内禀（有用）信号。

系统中的有用信号可以表示为

另外，假设有用信号初值的期望已知：

方差已知：

再设系统的输出信号Y ( t ) \mathbf{Y}(t)Y(t)具有如下形式

设滤波器的滤波误差为

滤波器的设计应当满足如下条件，使得滤波器得到的状态估计量为无偏的，且估计误差的均方差

最小。

2. 系统中相关关系整理

滤波器的任务，就是根据测量值Y(t)得到状态量X(t)的估计，且该估计为无偏的和最小误差均方差的。

3. 公式推导

(1) 无偏估计条件

为满足无偏估计的条件，需要有

对式(3)两边取期望有

代入式(5)并根据式(4)有

另一方面，对式(1)两边取数学期望有（考虑到噪声的期望为0）

根据式(4)可以看出，式(6)和式(7)的等号右边应该相等，那么

反代回式(3)，得到滤波器的结构

(2) 最小误差均方差条件

最小误差均方差条件表示为

对误差求导有（用到式(2)(9)）

其中

(3) 误差的方差条件

这里不加证明地给出如下结论：

(5) 矩阵迹的求导

为了求解式(15)，需要先介绍一些涉及到矩阵迹的求导公式

参照式(14)右边的各项，先得出如下项的迹的导数：

把如上式子全部代入微分方程(15)，可以求解得

(6) 两个噪声之间的特殊情况

(7) 滤波器的结论